大气湍流影响和模型参数
大气湍流
湍流是流体的一种流动状态。当流速增加到很大时，流线不再清楚可辨，流场中有许多小漩涡，层流被破坏，相邻流层间不但有滑动，还有混合，形成湍流，又称为乱流、扰流或紊流。在自然界中，我们常遇到流体作湍流，如江河急流、空气流动、烟囱排烟等都是湍流。流体在运动过程中，相邻流体之间会发生动量、能量和质量的交换和输运。在层流状态，这种输运主要通过无规则的分子运动进行;在湍流状态，则通过无规则的流体团的形式进行输运。由于每个流体团包含了千万个分子，承载着更多的动量、能量和质量，所以，湍流用“集装箱”方式输运的效率极高，以涡粘性、热扩散、质量扩散系数表征的输运能力可以是层流状态的千万倍，尤其是湍流大尺度拟序结构的参与，可以极大地影响输运过程。
管中理想流体、层流、湍流的速度分布图
湍流在空气动力学中指的是短时间(一般少于10min)内的风速波动。为了有效地描述风，将它认为是通过天气、昼夜、季节的平均风速和湍流的风速波动叠加构成的。这些风速波动的周期一般为一到几个小时，在10分钟，湍流波动的平均值为零。湍流产生的原因主要有两个:一个是当气流流动时，由于地形差异(如山峰)造成的与地表的摩擦或者阻滞作用;另一个是因为大气温度差异和空气密度差异引起的气流垂直流动。通常这两种原因彼此影响。例如，当气流经过高山时就会被迫流向温度较低的地区，这时气流与大气环境的热平衡被打破，引起风速波动。湍流显然是一个复杂的随机过程，并且不用简单明确的方程来表示，一般通过统计规律来研究湍流。基于雷诺平均方程的湍流模型理论在飞机、汽车设计中的起着非常重要作用，其中雷诺基数Reynolds用于表征湍流。
噪声的主要来源
在光学中湍流是指由大气折射率的随机变化引起接收光信号强度随机起伏现象(scintillations)。光学湍流会导致光束扩散远超过衍射计算值，以及光束质心centroid在接收器上的随机移动（或光束漂移beam wander）。
由于太阳加热地球表面，大气在垂直高度上存在湿度和温度梯度，当大气的气流打乱这种梯度时，就会引起光学湍流。光学湍流会在大气中生成折射率漩涡、折射率元胞。1941年，Kolmogorov和Obukhov各自对各均匀同速度场利用空间分析方法，以速度谱和速度结构函数预测了惯性子区。在惯性子区内，发现了一类光学湍流，其尺度由外尺度
和内尺度
决定，
用于描述位置
折射率函数
的随机场，一般用一个结构函数来表示，
(1.27)
其中，
是空间中的两个位置，<…>表示统计平均。对同质各向均匀的湍流，折射率结构函数只和位置差相关，即
，
。在惯性子区内，折射率结构函数可以表示为2/3指数定律，
(1.28)
比例常数
称为折射率结构参数，是波长、大气压强、温度的函数，是高度h的强相关函数。光学湍流强度由折射率结构参数来表征，取值范围从弱光学湍流
到强光学湍流
。
另外，折射率
也可以使用空间功率谱密度
来表示，
为三维波向量。湍流谱将光学湍流和大气折射率随机起伏联系起来，用于描述光学湍流对激光传播的影响。对2/3指数定律，相关的折射率起伏功率谱由著名的Kolmogorov谱给出，
(1.29)
其中
，是惯性子区域inertial subrange的空间谱密度边界。谱波数k定义为
，l为代表湍流尺度。
使用Kolmogorov计算需要假设湍流外尺度
是无限的，内尺度
非常小（典型情况下
在米m级别，而
在毫米mm级别）。另外，Kolmogorov谱在
处有一个奇点。Tatarskii建议在Kolmogorov谱耗散区域使用高斯函数截断，
(1.30)
其中
是截断波数，与Kolmogorov谱一样，
处有一个奇点。在修正的von Karman谱中，为了消除这奇点同时使得
区域表达式一致，Tatarskii谱表达式变为，
(1.31)
2002年8月3天的
曲线。The Army Research Laboratory's A_LOT, Adelphi,Maryland
考虑到在靠近
高波数引起的跳变（出现在温度测量数据中），提出了其它的大气谱模型。由于折射率谱和温度谱服从相同的规律，折射率谱在
附近也必然存在跳变。在实际工程应用中，很少考虑湍流的内尺度和外尺度效应，Kolmogorov模型就足够。
为了分析光学湍流，将大气层分为不同的几层，使用相同的方法进行分析。
地表边界层，主要受地表空气动力学粗糙度，太阳加热以及辐冷导致的温度梯度影响。这一层引起光学湍流的能量来自风切变以及温度梯度产生的浮力，这一层的高度由机械与浮力相互作用到湍流能量部分的量决定，从晚上的数十数百米到白天的千米（夏天热天可到数千米）。并且已经发现了地表边界层主要的湍流力学因素以及极大值。
对流层，在该层风机械能不在是湍流的主要能量来源，不在依赖空气动力学粗糙度。地表边界层和对流层共同构成了行星的边界层，高度延伸到最低反温高度。在行星边界（~10km）以上，地表特征不再影响大气的光学湍流。由于风切换，在对流层顶部存在一个湍流峰。在这个高度以上，湍流强度快速减小，到~25km高度后，湍流消失。
对流层上部，在该层发现了风切换产生的湍流峰值以及强的反转。Nastromand Eaton等人研究了平均海平面以上2-20km内重力波和湍流的关系以及
的气候特征。
对流层下部。
大气相干长度r0也叫Fried parameter或者 Fried's coherence length。由于大气折射率的随机不均匀性，弗里德参数或弗里德的相干长度（通常指定为 r0）是对通过大气的光传输质量的度量。在实践中，这种不均匀性主要是由较大空间尺度上较大温度变化的随机湍流混合引起的较小空间尺度上温度（以及密度）的微小变化，由Kolmogorov 首次描述了该现象。Fried 参数具有长度单位，通常以厘米cm表示。它被定义为圆形区域的直径，在该圆形区域上由于穿过大气而导致的均方根波前像差等于1弧度rad，与天文学相关的典型值在几十厘米左右，具体取决于大气条件。对于孔径为 D 的望远镜，可以观察到的最小光斑由望远镜的点扩散函数 (PSF) 给出。大气湍流使最小光斑的直径增加了大约 D/r0 的系数（对于长时间曝光）。因此，由于望远镜的小孔径，孔径远小于 r0 的望远镜的成像受大气观测的影响比衍射的影响要小。然而，孔径远大于r0的望远镜（因此包括所有专业望远镜）的成像分辨率将受到大气湍流的限制，阻止仪器接近衍射极限。
其中k=2π/λ为波数，垂直距离为z，当以天顶角ζ传播时，光路径会增加secζ倍，导致r0会更小，
一般好的观察站，r0平均在10cm左右，极端好的情况下可以达到20cm，望远镜因大气湍流的角度分辨率极限为λ/r0，望远镜口径D的角度分辨率极限为1.22λ/D。随着光学技术的成熟，常规望远镜的口径D都远大于r0，D>>r0，因此大气湍流的角度分辨率极限λ/r0是光学系统的主要约束因素，只能采用自适应光学来接近望远镜的衍射极限λ/D。
r0是λ^(6/5)的函数，因此不同波长的r0不同，在相同光学路径下r0(1550nm)/r0(800)=2.2，波长越长相应的r0越大，光学系统的性能更好。
光学湍流模型
对内陆100m高度以内的大气，光学结构参数
典型为
。实际计算过程中，光学结构参数
不仅依赖于高度，还和地形、地理位置、云层覆盖以及具体时间等局部条件相关。针对不同位置，到目前位置，从实验测量中已经发展了几十种湍流分析模型。除了PAMELA模型是计算平均值，大部分模型的理论结果都相似，并且都是基于大气湍流结构，h和
单位分别为m和
。常用模型主要是
PAMELA模型
PAMEL模型常用于评估地表边界层的光学结构参数
，其输入参数包括给定高度上的经度、纬度、日期、一天所在时间、云量百分比、地形、大气温度、压强、风速。对于高度倾斜的光路，一般取接收端的高度。机械和浮力贡献到光学湍流的能量可以表示为，
(1.32)
其中E为单位质量湍流平均动能，M是风切变的湍流能量产生率，B是浮力的湍流能量产生率，
是湍流能量耗散率。根据Kolmogorov普遍平衡假设，在稳态条件下有，
(1.33)
M为风切变的湍流能量产生率，
(1.34)
其中，
是动量的湍流交换系数，
是平均风速。浮力的湍流能量产生率，
(1.35)
其中g是重力加速度，
是热的湍流交换系数，
是平均位温度，单位为开尔文K；和温度T的关系表达式为
。平均风速垂直梯度和平均位温垂直梯度的流特征相似，
(1.36)
是von Karman常数，取0.4；
是摩擦速度(是湍流切应力与空气密度比值的平方根，具有速度量纲)，
是特征温度。
是无量纲风切变量，
是无量纲温度梯度（递减率）；L是Monin-Obukhov长度，是描述湍流产生以及地球分界层里湍流导致的流特征垂直结构的基础。
流分布关系随大气稳定性变化而变化，这里大气稳定性使用Pasquill稳定度类P来表示。当地球表明开始冷却的时候，稳定的大气条件会出现。此时，位温随高度增加，之前垂直移动的空气返回其原来的位置。当没温度梯度变为0时，会形成中性大气，此时之前上升的空气在当前位置保持不变；当地球表明开始加热的时候，不稳定的大气条件会出现。位温随高度增加而下降，之前上升的空气将继续上升。Pasquill稳定度类P可以表示为，
(1.37)
其中
是辐照类，
是风速类，
(1.38)
是参考高度的平均风速，辐照类
可以表示为太阳辐照度，
(1.39)
R为地面表明单位水平面积的太阳辐照功率，单位为
。对于晚上，如果云量百分比大于50%，
；否则，
。已知稳定类P的条件下，可以进一步计算Monin-Obukhov长度L，
(1.40)
是表征地球表面有效空气动力学粗糙度的表面粗糙长度，风吹过地球表面时产生的剪切力会在垂直高度上引入一个速度梯度。在大约10倍表面粗糙长度以上区域，风速的垂直特征是对数的。表面粗糙长度与地球表面特征
平均高度（单位cm）相关，
(1.41)
下表是典型乡村和城市条件下测得的表面粗糙长度，
在不稳定大气流特征条件下（负的稳定度类P），无量纲风切变量
和无量纲温度梯度（递减率）
分别为，
(1.42)
但大气条件稳定时，稳定度类P为正，
(1.43)
摩擦速度
，
(1.44)
利用热传导影响函数，动量
为，
(1.45)
特征温度
，
(1.46)
是常压下的比热，
；
是大气密度，单位
,可以使用大气压强Pa(单位millibars)和温度T（单位K）表示，
；H是热流，可以通过太阳辐照以及天气云量百分比计算得到。在知道摩擦速度
条件下，可以估算湍流热交换系数
，
(1.47)
大气光学折射率的变量包括：大气温度、大气压强、光波长以及比湿度。对于干燥的陆地，比湿度对折射率起伏的贡献不足1%，一般忽略不计。在大气中光学折射率一般表示为
，其中
为平均折射率，
为折射率随机起伏部分，
(1.48)
在海平面T=288K，Pa=1013 millibars,
,
在
量级。假设
有类似位温度的结构函数形式，
(1.49)
其中b是常数，常规取2.8。忽略大气压强起伏对大气折射率波动的贡献，可得，
(1.50)
根据链式法则有，
(1.51)
通过上面的这些方程组，就可以计算
的值。下图是PAMELA模型计算的
值与接收端实测的闪烁值。
图中大气压采用一天的平均值；风速分别用午夜、白天、晚上三个平均值；温度采用实测的平滑温度。这些作为必要的气象参数输入PAMELA模型中，预测的
和实测相符很好。
补充：大气压强和高度有直接的关系，在86km以下当温度递减率不为0时，压强和高度关系，
(1.52)
当温度递减率为0时，
(1.53)
其中
为静态压强Pa，
为标准温度T，
为标准温度递减率K/m，h为海平面以上高度m，
为层b的底部高度m，
为通用气体常数8.3144598 J/(mol·K)，
为引力常数9.80665 m/s2，M地球空气摩尔质量0.0289644 kg/mol。
其它模型还包括Gurvich模型、SLC-Day模型、Hufnagel-Valley模型、HV-Night模型、Greenwood模型等。
Gurvich模型
在许多实验测试中结果中，折射率结构参数
和在表面边界层里所处的高度服从幂法则，即
，在不稳定的、中性的或稳定的大气条件下q分别为4/3、2/3及0。Gurvich基于这个准则，提出了Gurvich现象模型来描述
。在改模型中，根据
的测量值，表达式被划分为4组。
Gurvich模型4组表达式的典型曲线（1）
；（2）
；（3）
；（4）
（1）
强湍流
(1.54)
（2）
(1.55)
（3）
(1.56)
（4）
(1.57)
在随后的研究中Gracheva和Gurvich根据大量的实验测量数据中提出了所谓“简单”湍流模型，
（a）最好的大气条件（弱湍流）下，
(1.58)
(b)在最差大气条件（强湍流）下，
(1.59)
（c）在“平均”大气条件下（前面两种情况的几何平均）
(1.60)
Gurvich“简单”湍流模型曲线如下图所示。
Gurvich“简单”湍流模型曲线
SLC-Day模型
Submarine Laser Communication-Day(SCL-Day)模型
表达式为，
(1.61)
该模型常用于描述内陆地区白天的湍流情况。
Hufnagel-Vally模型
HV模型是内陆地区白天观测条件下使用最多的一个模型，它考虑到了高空风速及近地湍流级别对折射率结构参数的影响，其表达式包含3项，分别对于表面边界层、高空急流引起的强湍流层以及背景对流层顶层
(1.62)
其中A是
的nominal值，v是5-20km高空评估风速的rms值，通常
，也通常称为HV-21模型。不同的A和评估风速v下的
曲线如下图所示。
HV-Night模型
在Air Force Maui Optical Station实验中，使用了一个Hufnagel-Vally模型版本来拟合、预测晚上可视好条件下的大气湍流，表示为
(1.63)
Greenwood模型
另一个用于山顶天文台天文成像的夜间大气湍流模型为，
(1.64)
2白天（实线）和2夜晚（虚线）不同模型的大气湍流特征。（1）HV-21模型；（2）SLC-Day模型；（3）HV-Night模型；（4）Greenwood模型
其它模型
Van Zandt基于存档的探空数据发展了复杂的理论湍流高层大气实验室模型，
(1.65)
这里b是一个常数，通常取2.8；
涡流扩散系数的比值，通常被认为是一个单位；M是广义折射率，包括大气压、绝对温度、位温及比湿度，这些数据可以从存档的探空数据中获得。该模型的主要动机是建立一个模型，只要该地有历史存档探空数据，就可以预测地区的湍流变化。这种方法的一个困难就是如何将小尺度的湍流波动与大尺度可以探测变量关联起来，或者将尺度湍流波动用大尺度可探测变量参数化。在一些文献中
被不切实际地作为湍流层内的常数对待。在由探空存档数据定义的每一个垂直分辨率块内，
通常取得10m。该模型另一重要的点就是块内可能发生湍流部分F的概率。从1978年来，该模型得到了极大关注和发展，
和F都有了比较好的可靠概率计算方法,模型结果和雷达测量数据符合较好。
另一个许多方面与高层大气实验室模型类似的模型是AFRL Radiosonde模型，该模型使用了与高层大气实验室模型
与
的关系以及理查森数，但是相比之下其模型的构造相对简单一些。该模型假设湍流是由微剪切力产生的，但是理查森数计算过程中的剪切力与具体存档数据无关，这点与高层大气实验室模型不同；而是构造了一个大气模型用于理查森数计算。AFRL模型针对对流层和平流层分为两个子模型，这些模型都是基于通过对火箭尾流测量获得高分辨率风速特性。
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